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Sequência de Golomb

Em Matemática a sequência de Golomb, em homenagem a Solomon W. Golomb (mas também chamada sequência de Silverman), é uma sequência não-decrescente de números inteiros, onde a(n) é o número de vezes em que n ocorre na sequência, começando com a(1)=1, e com a propriedade de que, para n>1, cada um a(n) é o menor número inteiro que faz com que seja possível satisfazer a condição. Por exemplo, a(1)=1 diz que uma só ocorre o valor 1 uma vez na sequência, de modo que a(2) não pode ser 1 também, e portanto deve ser de 2.

Os primeiros valores são: 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12.

Colin Mallows obteve a seguinte relação de recorrência:

a(1) = 1;  a(n+1)= 1+a(n+1-a(-a(n))).

Uma fórmula fechada para a(n) é

 \varphi^{2-\varphi} n ^ {\varphi-1}

onde \varphié a razão de ouro.

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